如何求解三維空間中兩條線段的交點坐標？

求解三維空間兩線段交點坐標

本文闡述如何判斷兩條三維空間線段是否相交，并計算其交點坐標。設線段AB的端點坐標為A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，線段CD的端點坐標為C(x3, y3, z3)和D(x4, y4, z4)。

首先，將線段參數化表示。線段AB的參數方程為：

x = x1 + t(x2 – x1) y = y1 + t(y2 – y1) z = z1 + t(z2 – z1) (0 ≤ t ≤ 1)

同理，線段CD的參數方程為：

x = x3 + s(x4 – x3) y = y3 + s(y4 – y3) z = z3 + s(z4 – z3) (0 ≤ s ≤ 1)

若兩線段相交，則存在參數s和t (0 ≤ s ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1)，使得上述兩個參數方程組的x, y, z值完全一致。因此，可列出如下方程組：

x1 + t(x2 – x1) = x3 + s(x4 – x3) y1 + t(y2 – y1) = y3 + s(y4 – y3) z1 + t(z2 – z1) = z3 + s(z4 – z3)

這是一個包含兩個未知數s和t的線性方程組。解此方程組可求得s和t的值。若解出的s和t均在區間[0, 1]內，則兩線段相交，交點坐標可通過將s或t代入任一方程組計算得到。若s或t不在[0, 1]區間內，則兩線段不相交。

需要注意的是，方程組可能無解或有無數解。無解表示兩線段平行或不相交；無數解表示兩線段重合。實際編程中，需處理這些特殊情況，例如通過判斷行列式是否為零來確定方程組解的唯一性。 只有在解出唯一解且s和t都在[0, 1]區間內時，才能確認兩線段相交并計算交點坐標。