曲線積分難題：如何巧妙換元求解 $int_0^1 rac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy$？

關于一道曲線積分的求解步驟詳解

本文將詳細解答一道曲線積分的計算難題，該題的核心在于一個巧妙的換元積分步驟。題目給出了一個定積分：$int_0^1 frac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy$，并希望了解其計算過程中的關鍵步驟是如何推導出來的。

題目中，提問者嘗試使用極坐標進行計算，但未能得到正確結果。實際上，這里并不需要用到極坐標變換。答案的關鍵在于一個簡單的換元法。

我們可以選擇 $y = sin(t)$ 作為換元。當 $y$ 從 0 變到 1 時，$t$ 則從 0 變到 $frac{pi}{2}$。 需要注意的是，在這個區間 $[0, frac{pi}{2}]$ 內，$sin(t)$ 和 $cos(t)$ 都是非負的，因此 $sqrt{cos^2 t} = cos t$。

接下來，我們一步步進行換元：

首先，將 $y = sin(t)$ 代入積分式：

$int_0^1 frac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy$

替換 $y$ 和 $dy$：

$int_0^{frac{pi}{2}}frac{sin^2t}{sqrt{1-sin^2t}}dsin t$

利用三角恒等式 $1 – sin^2 t = cos^2 t$，并考慮到在積分區間內 $cos t$ 為正，可化簡為：

$int_0^{frac{pi}{2}}frac{sin^2t}{sqrt{cos^2t}}cos tdt$

最終簡化得到：

$int_0^{frac{pi}{2}}sin^2tdt$

這個積分式就相對容易計算了。 至此，我們就完成了從原積分到最終積分式的推導過程，解開了提問者關于換元步驟的疑惑。