三維空間中兩條線段的交點(diǎn)坐標(biāo)如何求解？

求解三維空間中兩線段交點(diǎn)坐標(biāo)

在三維建模和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，判斷兩條線段是否相交并計(jì)算交點(diǎn)坐標(biāo)至關(guān)重要。本文介紹如何求解空間中線段AB與CD的交點(diǎn)坐標(biāo)，已知A(x1, y1, z1)、B(x2, y2, z2)、C(x3, y3, z3)和D(x4, y4, z4)。

首先，將線段參數(shù)化。線段AB的參數(shù)方程為：

x = x1 + t(x2 – x1) y = y1 + t(y2 – y1) z = z1 + t(z2 – z1)

其中0 ≤ t ≤ 1。 同理，線段CD的參數(shù)方程為：

x = x3 + s(x4 – x3) y = y3 + s(y4 – y3) z = z3 + s(z4 – z3)

其中0 ≤ s ≤ 1。

若兩線段相交，則存在s和t值使得兩組方程的x, y, z值相等。因此，我們建立方程組：

x1 + t(x2 – x1) = x3 + s(x4 – x3) y1 + t(y2 – y1) = y3 + s(y4 – y3) z1 + t(z2 – z1) = z3 + s(z4 – z3)

解此方程組即可得到s和t。 方程組可能無(wú)解（線段不相交）、有唯一解（線段相交于一點(diǎn)）或有無(wú)窮多解（線段重合）。

如果解得0 ≤ s ≤ 1且0 ≤ t ≤ 1，則兩線段相交，將s或t代入任一方程組即可計(jì)算交點(diǎn)坐標(biāo)。 若s或t不在[0, 1]范圍內(nèi)，則直線相交，但交點(diǎn)不在線段上。 無(wú)解則表示線段不相交。

為了提高計(jì)算效率和精度，建議使用向量運(yùn)算。例如，利用向量叉乘判斷直線是否平行，利用向量點(diǎn)乘判斷點(diǎn)是否在線段上，從而有效避免數(shù)值計(jì)算誤差。