求解三維空間中兩線段交點(diǎn)坐標(biāo)
在三維建模和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中,判斷兩條線段是否相交并計(jì)算交點(diǎn)坐標(biāo)至關(guān)重要。本文介紹如何求解空間中線段AB與CD的交點(diǎn)坐標(biāo),已知A(x1, y1, z1)、B(x2, y2, z2)、C(x3, y3, z3)和D(x4, y4, z4)。
首先,將線段參數(shù)化。線段AB的參數(shù)方程為:
x = x1 + t(x2 – x1) y = y1 + t(y2 – y1) z = z1 + t(z2 – z1)
其中0 ≤ t ≤ 1。 同理,線段CD的參數(shù)方程為:
x = x3 + s(x4 – x3) y = y3 + s(y4 – y3) z = z3 + s(z4 – z3)
其中0 ≤ s ≤ 1。
若兩線段相交,則存在s和t值使得兩組方程的x, y, z值相等。因此,我們建立方程組:
x1 + t(x2 – x1) = x3 + s(x4 – x3) y1 + t(y2 – y1) = y3 + s(y4 – y3) z1 + t(z2 – z1) = z3 + s(z4 – z3)
解此方程組即可得到s和t。 方程組可能無(wú)解(線段不相交)、有唯一解(線段相交于一點(diǎn))或有無(wú)窮多解(線段重合)。
如果解得0 ≤ s ≤ 1且0 ≤ t ≤ 1,則兩線段相交,將s或t代入任一方程組即可計(jì)算交點(diǎn)坐標(biāo)。 若s或t不在[0, 1]范圍內(nèi),則直線相交,但交點(diǎn)不在線段上。 無(wú)解則表示線段不相交。
為了提高計(jì)算效率和精度,建議使用向量運(yùn)算。例如,利用向量叉乘判斷直線是否平行,利用向量點(diǎn)乘判斷點(diǎn)是否在線段上,從而有效避免數(shù)值計(jì)算誤差。