曲線積分變量代換難題：如何巧妙地用三角函數(shù)換元解決 $int_0^1 rac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy$？

巧解曲線積分變量代換難題

本文將詳細(xì)解析一個(gè)曲線積分計(jì)算中的變量代換問題，解答如何高效求解定積分 $int_0^1 frac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy$。 許多同學(xué)嘗試使用極坐標(biāo)變換，卻未能得到正確結(jié)果。本文將揭示其關(guān)鍵在于巧妙的三角函數(shù)代換。

核心問題在于簡化積分 $int_0^1 frac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy$。解法并非采用復(fù)雜的極坐標(biāo)變換，而是利用簡單的三角函數(shù)代換法。

關(guān)鍵步驟在于設(shè) $y = sin t$。由于積分區(qū)間為 $y in (0, 1)$，則 $t$ 的區(qū)間對(duì)應(yīng)為 $(0, frac{pi}{2})$。在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，$sin t$ 和 $cos t$ 均為正值。

進(jìn)行換元后，積分式變?yōu)椋?/p>

$int_0^1 frac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy = int_0^{frac{pi}{2}} frac{sin^2 t}{sqrt{1-sin^2 t}} d(sin t)$

由于 $d(sin t) = cos t dt$ 且 $sqrt{1-sin^2 t} = cos t$ (當(dāng) $t in (0, frac{pi}{2})$ 時(shí))，積分式可簡化為：

$int_0^{frac{pi}{2}} frac{sin^2 t}{cos t} cos t dt = int_0^{frac{pi}{2}} sin^2 t dt$

通過這一巧妙的換元，我們成功消除了根式，使積分計(jì)算大大簡化。 這并非極坐標(biāo)變換，而是一個(gè)簡單的三角函數(shù)代換，其核心在于選擇合適的換元變量并準(zhǔn)確確定其對(duì)應(yīng)的積分區(qū)間。