曲線積分中x2的處理：標準答案為何能忽略(1/3)x3？

曲線積分例題詳解：巧妙運用換元法

本文針對一道曲線積分例題中，關于積分步驟中x2處理的疑問進行詳細解答。 例題中，計算∫x2sin(x3)dx 的過程，標準答案的處理方式引發了困惑：標準答案似乎直接將x2dx變換為(1/3)dx3，這與常規積分方法不同。

這種處理方法并非忽略了x2的積分結果(1/3)x3，而是巧妙地應用了換元積分法。

詳細解析：

為了計算∫x2sin(x3)dx，我們采用u代換法：

令 u = x3，則 du = 3x2dx。 因此，x2dx = (1/3)du。

將代換式帶入原積分：

∫x2sin(x3)dx = ∫sin(u)(1/3)du = (1/3)∫sin(u)du = -(1/3)cos(u) + C

最后，將u = x3代回，得到最終結果：-(1/3)cos(x3) + C。

結論：

標準答案并非忽略了x2的積分，而是通過換元積分法，將x2dx轉化為(1/3)du，從而簡化了積分過程，最終得到正確的結果。 因此，之前的疑問源于對換元積分法的理解偏差。