曲線積分換元：為什么用y=sin(t)替換而非極坐標變換？

關于曲線積分變量替換的探討

本文分析一個曲線積分問題中變量替換的技巧，解答中并非采用極坐標變換，而是利用三角函數代換簡化積分計算。

原積分式為：$int_0^1 frac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy$

解答采用如下換元法：令 $y = sin(t)$。由于積分區間 $y in (0, 1)$，則 $t in (0, frac{pi}{2})$。在這個區間內，$sin(t)$ 和 $cos(t)$ 均為正值。

代入換元后，積分式變為：

$int_0^1 frac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy = int_0^{frac{pi}{2}} frac{sin^2t}{sqrt{1-sin^2t}}d(sin t)$

由于 $d(sin t) = cos t dt$，且 $sqrt{1 – sin^2t} = cos t$ (在 $t in (0, frac{pi}{2})$ 區間內)，積分式可簡化為：

$int_0^{frac{pi}{2}} frac{sin^2t}{cos t}cos t dt = int_0^{frac{pi}{2}} sin^2t dt$

通過 $y = sin(t)$ 的代換，巧妙地消去了根號，簡化了積分計算。 這體現了選擇恰當的變量替換在簡化積分過程中的重要性。 與極坐標變換相比，此方法更直接有效地解決了該特定積分問題。 關鍵在于合理選擇換元變量并正確處理積分限和微分元素。