曲線積分變量替換技巧詳解
在計算曲線積分時，巧妙的變量替換往往能顯著簡化計算過程。本文將通過一個例子，詳細講解如何將積分$int_0^1 frac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy$轉化為$int_0^{frac{pi}{2}}sin^2tdt$。
問題： 如何進行變量替換，將積分$int_0^1 frac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy$轉化為$int_0^{frac{pi}{2}}sin^2tdt$? 直接使用極坐標替換并不能得到正確結果。
解答： 這里并非極坐標變換，而是簡單的三角替換法。關鍵在于選擇合適的替換變量。
觀察被積函數$frac{y^2}{sqrt{1-y^2}}$，注意到分母中的$1-y^2$與三角恒等式$sin^2t + cos^2t = 1$ 類似。因此，我們選擇替換變量$y = sin t$。
由于積分區間為$y in (0, 1)$，則對應的$t$的區間為$t in (0, frac{pi}{2})$。在這個區間內，$sin t$和$cos t$均為正數。
進行替換后，有：
$int_0^1 frac{y^2}{sqrt{1-y^2}}dy = int_0^{frac{pi}{2}} frac{sin^2t}{sqrt{1-sin^2t}} d(sin t)$
由于$d(sin t) = cos t dt$，且$sqrt{1-sin^2t} = cos t$ (在$t in (0, frac{pi}{2})$時)，則上式可化簡為：
$int_0^{frac{pi}{2}} frac{sin^2t}{cos t} cos t dt = int_0^{frac{pi}{2}} sin^2t dt$
這樣就完成了積分的轉化。 關鍵在于正確計算$d(sin t)$并利用三角恒等式化簡表達式。 選擇$y = sin t$ 的替換正是基于對被積函數形式的觀察和三角恒等式的運用。
